pecinta matematika teknik

“KOMPUTASI MATEMATIKA DAN MAPLE”

Apa itu komputasi?

Komputasi dapat diartikan sebagai cara untuk menemukan pemecahan permasalahan dari data input dengan suatu algoritma.

Apa itu matematika?

Matematika merupakan ilmu pasti, yang memiliki peranan penting dalam berbagai aspek kehidupan. Banyak permasalahan dan kegiatan dalam hidup kita yang harus  diselesaikan dengan menggunakan ilmu matematika seperti menghitung, mengukur, dan lain-lain.

 Jadi komputasi matematika adalah suatu cara untuk menemukan pemecahan permasalahan ilmu pasti (Matematika).

Apa itu Maple?

Maple adalah suatu  program yang sangat  atraktif. Menyajikan  bahasa yang mudah  dipahami  karena  kesederhanaan perintahnya. Untuk memulai program MAPLE, anda harus menginstal dulu program Maple. Setelah di instal anda dapat  menjalankannya  dengan  mengklik “START –ALL PROGRAM – MAPLE 15 – MAPLE 15”

Bagaimana Cara Menggunakan Maple dalam Menyelesaikan Permasalahan Matematika?

Perintah MAPLE dituliskan di sebelah kanan tanda “[>” pada layar editor. kita awali dengan menginvestigasi  permasalahan  aljabar. Misalnya anda akan menghitung perkalian : 14 x 56 dan berkehendak mendapatkan hasilnya. Untuk tujuan itu anda harus menuliskan perintahnya sebagai berikut:

[> 14 * 56;

Perhatikan tanda titik koma (;) di akhir perintah. Penulisan tanda titik koma  tersebut menyatakan bahwa  anda mengakhiri satu jenis perintah. Bila anda telah menuliskan secara sempurna perinah di atas, kemudian menekan enter, maka hasil yang anda butuhkan akan disajikan. Hasil perhitungan adalah 784.

Aturan dasar penggunaan maple
  

JENIS OPERASI	PENULISAN BIASA	PENULISAN MAPLE
Penjumlahan	+	+
Pengurangan	-	-
Perkalian	X	*atau .
Pembagian	: atau /	/
Pangkat		a*x^n
Trigonometri	Sin x	Sin(x)
	(sin x)n	(sin(x))^n
Invers fungsi trigonometri hiperbolik	Arc sin x atau	Arc sin(x)
	Sinh x	Sinh(x)
	Cosech x	Cosech(x)
Akar pangkat dua		sqrt(x)
Nilai mutlak		Abs(x)
Tak hinggga		Infinity
Pemberian nilai	x=a	x:=a
Logaritma	Log 10 x	Log 10(x)
	Log x	Log(x)
	Ln x	Ln(x)
	Log [b]x	Log[b](x)
Eksponensial, e	ex	Exp(x)

Log(x)  sama  dengan  perintah  ln(x). Sedangkan log10(x) adalah logaritma basis sepuluh, yaitu yang umum kita  gunakan  jika  kita  menuliskan log x. Jadi hati-hati mengingat perintah ini. Log[b](x) adalah logaritma basis b adalah sebarang bilangan dengan b>0 dan x>0. Ingat, pemberian nilai suatu variabel dalam Maple digunakan tanda titik dua sama dengan (:=), bukan tanda sama dengan (=). Perintah restart ;digunakan untuk membersihkan memori yang dikelola oleh Maple. Setelah kita menjalankan perintah restart; maka semua penghitungan (computasi) sebelumnya akan dihapus.

Ø  Operasi Aritmatika

[>1+2; 

Jawabannya adalah:   3

[>1+3/2;

Jawabannya adalah: 5/2

[>2*(3+1/3)/(5/3-4/5);

Jawabannya adalah:   10013

[>2.8754/2; 

Hasilnya adalah: 1.437700000

[>100!; 

Hasilnya adalah: 9332621544394415268169923885626670049071596826438162146859296389521759999322991\
5608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

100! : menghitung 100 faktorial, tanda ( \ ) menunjukkan bahwa angka itu masih berlanjut di bawahnya

Ø  Bekerja dengan bilangan bulat

Maple mempunyai  banyak  perintah yang bekerja untuk bilangan bulat (integer). Cobalah contoh  berikut.

[>ifactor(80); 

 Jawabannya: (2)⁴. (5) ( faktorisasi prima dari 80).

[>igcd(123,45);

Jawabannya : 3 (faktor persekutuan terbesar dari 123 dan 45).

[>ilcm(123,45); 

Jawabannya: 1845 (kelipatan persekutuan terkecil dari 123 dan 45).

[>iquo(25,3);

Hasilnya: 8 (bagian bulat dari 25 dibagi 3).

[>isprime(18002676583);

 Jawabannya: true (memeriksa apakah 18002676583 merupakan bilangan prima, dan hasilnya ternyata benar (true) ).

[>abs(-1000); 

Jawab: 1000 (harga mutlak dari –1000).

[>irem(25,3);

Jawannya adalah: 1 (sisa pembagian dari 25 dibagi 3).

[>iroot(2003,4); 

Jawab: 7 (pendekatan ke bilangan bulat terdekat nilai akar pangkat 4 dari 2003).

[>isqrt(2345); 

Jawab: 48(pendekatan ke bilangan bulat terdekat nilai akar dari 2345).

[>surd(100,3);

Jawab: 10^2/3 (nilai real dari akar pangkat 3 dari 100).

[> max(132456,132345);

Jawab: 132456 (nilai yang lebih besar antara 132456 dan 132345, ket: bisa bukan bilangan bulat, bisa lebih dari 2 bilangan)

[>min(132456,132345); 

Jawabannya: 132345(nilai yang lebih kecil antara 132456 dan 132345, ket: bisa bukan bilangan bulat, bisa lebih dari 2bilangan).

[>2003 mod 12; 

Jawabannya: 11 (2003 modulo 12 adalah 11).

   Aritmatika Exact Dengan Bilangan Rasional, Irrasional Dan Konstan.

Maple dapat mencari pendekatan bilangan rasional dan irrasional secara akurat dalam ratusan tempat  desimal (digit).

[>evalf(1/3);

Jawabannya: 0.3333333333 (mencari nilai pendekatan 1/3 dalam 10 digit (default Maple)). Dapat juga  dilakukan  perubahan default digit.

[>Digits :=20; 

 Jawabannya : := Digits20

[>evalf(1/3); 

Jawabannnya: 0.33333333333333333333 Jika diinginkan banyak digit tertentu, juga dapat dilakukan.

[>evalf(Pi,100);

Jawabannya: 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089\ 98628034825342117068

(mencari  nilai  pendekatan Pi dalam 100 digit). Maple  mengerjakan  bilangan sesuai dalam bentuk yang dituliskan (exact atau desimal). Apabila ada campuran antara bentuk exact dan desimal, maple akan mengerjakannya dalam bentuk desimal.

[>3/2* 5; 

Jawabannnya adalah: 152

[>1.5 * 5; 

Jawabnnya adalah: 7.5

[> ;

Jawabannya adalah: 0.7720125786

   Aritmatika Dengan Bilangan Khusus

Maple dapat bekerja dengan bilangan kompleks I dan juga merubah bilangan bilangan basis 10 kebasis yang lain.

[>(2 + 5*I) + (1 - I); 

Jawab: 3 + 4I 

[>(1 + I)/ (3 - 2*I); 

Jawabannnya:  

[>convert(247, base, 2);

 Jawabannya: [1,1,1,0,1,1,1,1](merubah bilangan 247 ke basis 2, [1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1] dibaca (dari belakang) sebagai 11101111)

Untuk basis dua bisa langsung dengan perintah berikut:

[>convert(247, binary); 

Jawabannya adalah: 11110111

[>convert(1023, base, 16);

Jawabnnya adalah: [15,15,3]

[>convert(1023, hex); 

Jawabannya adalah: 3FF 

  

Ø  Perhitungan Aljabar

Akan dibahas bagaimana menuliskan ekspresi (bentuk) aljabar, substitusi nilai ke dalam variabel,penjabaran, pemfaktoran dan penyederhanaan ekspresi aljabar. Untuk membuat worksheet benar-benar baru ( bebas dari nilai /atau variabel yang telah didefinisikan sebelumnya) dapat diketikkan perintah berikut.

[>restart;

Ø  Perintah Substitusi (Subs)

Misalkan bentuk Aljabar 4x²+ 2x - 4 dan di beri nama A.

[>A:= 4*x^2+2*x-4 ; 

Jawabannya adalah: A:= 4x²+ 2x – 4

Misalkan untuk mensubtitusikan nilai 2 untuk variabel x ke dalam bentuk aljabar4x²+ 2x – 4.Cara yang langsung adalah 

[>subs(x=2,4*x^2+2*x-4);

Maka hasilnya adalah: 16

Cara yang lain dengan menggunakan nama bentuk aljabar yang telah didefinisikan.

[>subs(x=2,A);16

Perintahsubs( )juga dapat digunakan untuk memasukkan nilai ke dalam suatu persamaan, dandapat dilihat hasilnya apakah memenuhi atau tidak. Misalkan akan disubstitusikan beberapa nilai untuk persamaan

[>eqn:=x^3-5*x^2+7*x-12=0;

Jawabannya adalah: eqn:=x³-5x²+7x-12=0

[>subs(x=3,eqn); 

Jawabannya adalah: -9 = 0 ( yang berarti x = 3 tidak memenuhi persamaan).

[>subs(x=4,eqn); 

Jawabannya dalah: 0 = 0 ( yang berarti x = 4 memenuhi persamaan).

Ø  Perintah Penjabaran ( expand )

Perintah expand( )secara umum menjabarkan bentuk aljabar ke dalam bentuk polinomial. Perintah ini juga dapat dikerjakan untuk fungsi trigonometri dan fungsi lainnya yang lebih umum.

[>K:=(x+2)^2*(3*x-3)*(x+5);

Jawabannya: K:=(x+2)²(3x-3)(x+5)

 

[>expand(K);

Jawabannya: 3x⁴+24x³+45x²-12x-60

[>expand(sin(2*x)); 

Jawabannya: 2sin(x)cos(x)

Ø  Perintah Pemfaktoran (factor )

Faktorkan bentuk aljabar:

[>W:=3*x^2-10*x-8; 

Jawabannya adalah: w:=3x²-10x-8

[>factor(W); 

Jawabannya adalah: (3x+2)(x-4)

Maple juga dapat  memfaktorkan bentuk aljabar yang memuat variabel lebih dari satu. Faktorkan

[>H:=x^2*y+2*x*y+y; 

Jawabannya adalah: H:= x²y+2xy+y

[>factor(H); 

Jawabannya adalah: y(x+1)²

Untuk bentuk ajabar rasional, pembilang dan penyebut masing-masing akan difaktorkan danfaktor yang sama akan dihilangkan sehingga menjadi bentuk yang sederhana.

[>A:=(x^3-7*x^2+15*x-9)/(x^2+4*x+4);

Jawab: A:=

[>factor(A); 

Jawab:

[>B:=(x^3-7*x^2+15*x-9)/(x^2-4*x+3);

Jawab: B:=

[>factor(B);

Jawabnnya:  x – 3

Contoh berikut akan melakukan pemfaktoran untuk pembilang dan penyebut, sehingga akan tampak faktor yang dihilangkan. Perintah numer( ) dan denom( ) berturut-turut untuk mengambil pembilang dan penyebut untuk suatu bentuk aljabar rasional.

[>factor(numer(B)); factor(denom(B);

Jawabannya: (x-1) (x-3)² atau (x-1) (x-3)

Ø  Perintah sederhanakan ( simplify )

Sederhanakan bentuk aljabar cos(x)⁵+sin(x)⁴+2cos(x)²-2sin(x)²-cos(2x)

[>V:=cos(x)^5 + sin(x)^4 + 2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2 -cos(2*x);

Jawannya: V:=cos(x)⁵+sin(x)⁴+2cos(x)²-2sin(x)²-cos(2x)

[>simplify(V);

Jawabannya: cos(x)⁴ (cos(x)+1)

Bentuk Trigonometri dengan sudut ganda akan disederhanakan dalam sudut tunggal, jika mungkin.

[>simplify(sin(5*t)+sin(3*t)); 

Jawabannya: sin(5t) + sin(3t)

[>M:=(1/(x+1))+(x/(x-1)); simplify(M);

Jawabannya: M:=  maka setelah disederhanakan menjadi

Ø  FUNGSI (PEMETAAN)

Dalam matematika, suatu fungsi (pemetaan) didefinisikan sebagai suatu relasi dari himpunan

 A ke himpunan B yang dalam hal ini setiap anggota dari A direlasikan dengan tepat satu anggota B. Apabila dinyatakan dalam notasi, misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan himpunan A ke B, maka notasinya adalah f :A→B

Salah satu contoh fungsi adalah f (x) = 3x + 4. Fungsi tersebut memetakan bilangan real ke bilangan real juga. Selanjutnya, bagaimana cara mendefinisikan fungsi dalam Maple?

Dalam Maple fungsi diatas dapat didefinisikan sebagai

[> f:=(x)→3*x+4;

Jawab: f:=x→3x+4

Sintaks secara umum untuk mendefinisikan suatu fungsi dalam Maple adalah sebagai berikut:

[>nama_fungsi := (variabel) -> operasi;

Contoh lain adalah misalkan kita ingin menuliskan fungsi h(x,y)=4x³-2x²y+5xy²+8y³ maka dalam maple ditulis;

[> h:=(x,y)→4*x^3-2*x^2*y+5*x*y^2+8*y^3;

Jawabannya: h:=(x,y)→ 4x³-2x²y+5xy²+8y³

Sedang untuk fungsi lain

[>g:=(x)→x*sin(x+1)-sin(x)^2;

Jawabannya: g:=x→xsin(x+1)-sin(x)²

Ø  Evaluasi Fungsi

Misalkan sudah diketahui suatu fungsi f (x), selanjutnya dapat dicari nilai fungsi untuk x tertentu. Sebagai contoh diberikan fungsi f(x)=x²+3x-1 dan akan dicari nilai fungsi untuk x=1 atau f (1). Dari perhitungan manual diperoleh f(1) = 12 + 3.1 – 1 = 3.

Dalam maple

[>F:=x→x²+3x-1;

Jawabannya adalah: F:=x→ x²+3x-1

[>F(1);

Jawabannya adalah: 3

F(3);

Jawab: 17

Dari contoh dapat dilihat bahwa x=1 atau F(1) maka Hasilnya 3 untuk x=3 atau F(3) maka hasilnya adalah 17.

[>f:=(x,y)→cos(x)+2*sin(x+y);

Jawab: f:=(x,y)→cos(x,y) + 2sin(x+y)

[>(2.3,1);

Jawab: -0.981764095

Beberapa kasus evaluasi fungsi dalam Maple dari fungsi yang telah didefinisikan sebelumnya terkadang tidak memberikan hasil seperti yang diharapkan (hasil tampilan hanya dalam bentuksimbolik). Sebagai gambaran, diberikan contoh fungsi f (x) = sin(x) + cos(x) , dan akan dievaluasinilai fungsi tersebut pada x =2.

[>f:=(x)→sin(x)+cos(x);

Jawab: f:=x→sin(x)+cos(x)

[>f(2);

Jawab: sin(2) + cos(2)

Di sini nilai sin(2) dan cos(2) masing-masing tidak dihitung nilainya (dalam numerik), sehingganilai fungsi f (2) masih dinyatakan dalam simbol. Kasus semacam ini muncul karena nilai x bukan dalam bentuk floating point. Untuk menyatakan nilai x dalam floating point , caranya dengan menambahkan digit desimal pada nilai x yang akan di evaluasi. Dengan demikian perintah f (2) ; diubah menjadi f (2.0) ;

[>f:=(x)→sin(x) + cos(x);

Jawab: f:=x→sin(x) + cos(x)

[>evalf(f(2));

Jawab: 0.931505903

Tingkat presisi (digit) hasil perhitungan Maple dapat diatur. Secara default Maple menampilkan hasil perhitungan dalam 10 digit presisi. Hal ini tampak pada soal di atas dari contoh sebelumnya yaitu dari hasil 0,4931505903. Untuk mengubah digit presisi perintahnya adalah

[>Digits := n;

dengan n adalah bilangan asli.Perintah di atas diberikan sebelum operasi perhitungan dilakukan. Misalnya untuk hasil perhitungan akan ditampilkan dalam 21 digit presisi, maka perintahnya:

[>Digits:=21;

Jawab:  Digits:=21

[>f:=(x)→sin(x) + cos(x);

Jawab: f:=x→sin(x) + cos(x)

[>f(2.0);

Jawab: 0.493150590278539308398

Ø  GRAFIK FUNGSI

Salah satu kelebihan Maple adalah tersedianya fasilitas untuk membuat grafik suatu fungsi baik berdimensi 2 maupun 3, serta fungsi parametrik. Selain itu, grafik juga dapat disajikan dalam bentuk koordinat kutub (polar). Efek-efek animasi juga dapat diberikan pada grafik supaya lebih menarik.

·         Grafik Fungsi 2 Dimensi

Diberikan suatu fungsi y =f (x ) , apabila fungsi ini akan dibuat grafiknya menggunakan Maple, maka digunakan perintah plot dengan sintaks perintahnya adalah:

[>plot(f(x), x=a..b , option1, option2, ...);

dengan x = a..b adalah batas nilai x untuk grafik yang akan dibuat pada selang [a,b]. Sedangkan parameter option adalah properti asesoris grafik. Option ini bersifat optional (tidak harus dituliskan).

Lukislah grafik dari 3x²-8 untuk x antara -5 dan 5

[>plot(3*x^2-8,x=-5..5);

maka akan muncul tampilan seperti ini:

Ø  Determinan Matriks Dengan Maple

Berdasarkan Definisi, “Misalkan A adalah matriks kuadrat. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A. Jumlah dari det(A)kita namakan dengan determinan A.” . Di SMA kita sudah mengenal bagaimana cara mencari determinan suatu matriks kuadrat berukuran 2×2 dan 3×3 secara manual, dimana kita harus mengoperasikan setiap entri-entri dari matriks tersebut.

Padahal selain itu kita dapat mencari determinan suatu matriks kuadrat secara komputerisasi yaitu menggunakan Maple. Dengan menggunakan Maple kita tidak hanya dapat mencari determinan suatu matriks kuadrat berukuran 2×2 dan 3×3 saja, namun disini kita juga dapat mencari determinan matriks kuadrat yang berukuran 4×4, 5×5, 6×6 sampai nxn dimana untuk .

Secara umum perintah yang dapat digunakan untuk mencari determinan matriks kuadrat A atau det(A) adalah :

[>with (LinearAlgebra);

[>Determinant(A);

Dimana matriks kuadrat A harus didefinisikan dulu sebelumnya. Agar lebih jelasnya coba perhatikan contoh berikut ini :

(i)       

Carilah determinan dari matriks disamping menggunakan maple !

Diketahui Matrik kuadrat :

            1     3     2     4        

     A=      5     0     1     3

                2     1     6      1

                1     3     5      2

Penyelesaian :

Langkah 1 :

Definisikan terlebih dahulu matriks A tersebut :

A:=Matrix([[1,3,2,4],[5,0,1,3],[2,1,6,1],[1,3,5,2]]); kemudian tekan enter. Hasilnya akan muncul sebagai berikut :

[>

Langkah 2 : Ketik “ with(LinearAlgebra); “ kemudian tekan enter.

Langkah ketiga: Setelah muncul beberapa perintah, copy perintah “Determinant” kemudian paste di baris berikutnya dan ketik “(A);”atau secara manual bisa langsung kita ketik Determinant(A); kemudian tekan enter. Berikut tampilan perintahnnya :

[>Determinant(A);

Maka akan muncul jawabannya yaitu: 90

Ø  Mencari Akar Suatu Persamaan Dengan Maple

·         PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah  . Solusi dari persamaan kuadrat disebut juga akar-akar dari persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat mempunyai dua solusi. Solusi ini dapat dicari dengan rumus  dan . Maka ada tiga kemungkinan solusi dari persamaan kuadrat, yaitu (1) kedua akarnya adalah bilangan real yang berlainan; (2) kedua akarnya adalah bilangan real yang sama, dengan lain perkataan satu akar real; atau (3) kedua akarnya adalah imajiner atau akarnya berupa bilangan kompleks.

Hal ini dapat diketahui dari nilai    . Bila nilai ini tidak negatif, maka kedua akarnya real. Sehingga persamaan kuadrat ini dapat dinyatakan dalam perkalian faktor linier. Jadi untuk mencari akarnya dapat digunakan perintah  factor. Cobalah cari solusi dari persamaan dengan menggunakan perintah factor.  Tetapi tentu diharapkan ada teknik yang lebih mudah dari itu. Maple memberikan fasilitas itu dengan perintah solve. 

 [>solve({x^2 – 1},{x});

 Ataupun untuk persamaan kuadrat dengan akar imajiner.

 [>solve({x^2+1},{x});

v  Penjumlahan matriks

Jika matriks A dan matriks B berordo sama, maka penjumlahan (atau pengurangan) matriks A dengan matrik B adalah sebuah matriks baru yang diperoleh dengan cara menjumlahkan setiap elemen matriks A dengan elemen matriks B yang seletak (bersesuaian).

Sifat Penjumlahan matriks :

·       Dua matriks dapat dijumlahkan  jika ordonya sama

·       Penjumlahan matriks bersifat komutatif, yakni A + B = B + A

·       Penjumlahan matriks bersifat asosiatif, yakni (A + B) + C = A + (B + C)

·       Ada unsur identitas, yakni matriks O (matriks yang semua elemennya nol), yang bersifat A + O = O + A = A

·       Semua matriks A mempunyai lawan atau negatif (invers penjumlahan), yaitu – A yang bersifat A  + ( – A ) = O

Misalkan matriks A dan matriks B didefinisikan sebagai berikut :

      dan   

Untuk mengetahui penjumlahan kedua matriks tersebut, cara penulisan dalam maple sebagai berikut:

·      Ketik : with(LinearAlgebra) :

·      Ketik kedua matriks tersebut seperti tampilan maple berikut :

[>with(LinearAlgebra):

[>A:=Matrix(2,[[1,2,3],[2,3,4]]);

[>B:=Matrix(2,[[2,1,3],[3,4,2]]);

Maka hasil penjumlahan kedua matriks tersebut akan muncul dengan menekan ENTER.

v  Pengurangan matriks

Jika matriks A dan matriks B berordo sama, maka pengurangan matriks A dengan matriks B adalah sebuah matrik baru yang diperoleh dengan cara mengurangkan setiap elemen matriks A dengan elemen matriks B yang seletak.

Untuk mengurangi kedua matriks tersebut.

Ketik : A-B; (dibawah pendefinisian matriks A dan matriks B) seperti tampilan maple berikut :

[>with(LinearAlgebra):

[>A:=Matrix(2,[[1,2,3],[2,3,4]]);

[>B:=Matrix(2,[[2,1,3],[3,4,2]]);

[>A-B;

Maka hasil pengurangan kedua matriks tersebut akan muncul dengan menekan ENTER.

v  Perkalian skalar dengan matriks

Misalkan matriks A didefinisikan sebagai berikut :

 dan skalarnya adalah 2, maka untuk mengetahui hasil perkaliannya adalah sebagai berikut :

·      Ketik : with(LinearAlgebra):

·      Ketik matriks A seperti tampilan maple berikut :

·      Ketik : 2A; (dibawah pendefinisian matriks A) seperti tampilan maple berikut :

[>with(LinearAlgebra):

[>A:=Matrix(2,[[1,2],[2,3]]);

[>2A

Maka hasil perkalian skalar dengan matriks tersebut akan muncul dengan menekan ENTER.

v  Perkalian matriks dengan matriks

Matriks A dapat dikalian dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Dengan kata lain Apabila A adalah matriks berordo m x n dan matriks B berordo n x p, hasil perkalian matriks A dengan matriks B adalah matriks baru (misal matriks C) yang berordo m x p. Hasil perkalian matriks A dengan matriks B yang sebanding diperoleh dengan cara mengalikan masing masing baris matriks A dengan masing masing kolom matriks B, kemudian menjumlahkannya.

Sifat Perkalian dua Matriks atau lebih yang sepadan diantaranya :

·       Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif A. B ≠ B. A (kecuali untuk matrik matrik khusus.

·       Perkalian matriks bersifat asosiatif (A. B) C = A. (B. C)

·       Perkalian matriks bersifat distributif., Distributif Kiri : A. (B + C) = A.B + A. C, Distributif Kanan : (B + C). A = B. A + C. A

·       Dalam perkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama, terdapat sebuah matrik identitas, yaitu matrik satuan I, yang bersifat :

I . A = A . I

·       Jika A . B = O, belum tentu A = O atau B = O. Jika A. B = A. C, belum tentu B = C

·       Jika p dan q adalah bilangan bilangan real, serta A dan B adalah matrik matriks, maka berlaku hubungan (pA) (qB) = (pq) (A.B)

·       Jika A^t dan B^t berturut-turut adalah transpose dari matriks A dan matriks B maka : (A. B)^t = B^t. A^t

Misalkan matriks A dan matriks B didefinisikan sebagai berikut :

       dan   

Untuk mengetahui perkalian kedua matriks tersebut, inilah cara penulisan dalam maple :

·      Ketik : with(LinearAlgebra):

·      Ketik kedua matriks tersebut seperti tampilan maple berikut :

·      Untuk mengalikan kedua matriks tersebut.

Ketik : A.B; (dibawah pendefinisian matriks A dan matriks B) seperti tampilan maple berikut :

[>with(LinearAlgebra):

[>A:=Matrix(2,[[1,2],[2,3]]);

[>A.B;

Maka hasil perkalian kedua matriks tersebut akan muncul dengan menekan ENTER.

v  Transpose matriks

Cara penulisan pada maple

·      Ketik : with(LinearAlgebra)

·      Ketik : nama matriks:=Matrix(2,[[entri baris pertama],[entri baris kedua]])

Keterangan : angka 2 diatas menyatakan jumlah baris pada matriks yaitu 2.

·      Ketik : Transpose(nama matriks)

Berikut tampilan maplenya:

[>with(LinearAlgebra):

[>A:=Matrix(2,[[1,2],[2,3]]);

[>Transpose(A);

Maka hasil transpose matriks tersebut akan muncul dengan menekan ENTER.

v  Determinan matriks

Matriks yang mempunyai determinan hanyalah matriks bujursangkar (banyaknya baris sama dengan banyak kolom).

Determinan dari matriks A dinotasikan dengan │A│.

a.    Untuk Matriks Berordo 2x2

Determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut : 𝐴=

Determinan A = │A│= ad – bc

Cara penulisan pada maple

·      Ketik : with(LinearAlgebra)

·      Ketik : nama matriks:=Matrix(2,[[entri baris pertama],[entri baris kedua]])

Keterangan : angka 2 diatas menyatakan jumlah baris pada matriks yaitu 2.

·      Ketik : Determinant(nama matriks)

Berikut tampilan maplenya:

[>with(LinearAlgebra):

[>A:=Matrix(2,[[a,b],[c,d]]);

[>Determinant(A);

Maka hasil determinan matriks tersebut akan muncul dengan menekan ENTER.

b.    Untuk Matriks Berordo 3x3

Determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut : 𝐴=

Determinan A = │A│= aei – afh + dhc – dbi + gbf - gec

Cara penulisan pada maple

·      Ketik : with(LinearAlgebra)

·      Ketik : nama matriks:=Matrix(3,[[entri baris pertama],[entri baris kedua],[entri baris ketiga]])

Keterangan : angka 3 diatas menyatakan jumlah baris pada matriks yaitu 3.

·      Ketik : Determinant(nama matriks)

·      Berikut tampilan maplenya:  

[>with(LinearAlgebra):

[>A:=Matrix(3,[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]);

[>Determinant(A);

Lalu tekan ENTER maka akan keluar jawaban dari permasalahan ini.

Ø  Kelebihan dan kekurangan Maple

Dengan menggunakan maple kita dapat menyelesaikan permasalahan matematika dengan lebih cepat dan efisien karena di dalamnya sudah terdapat fitur-fitur yang dapat mempermudah cara menggunakannya.

Kekurangannya maple, yaitu tidak dapat melakukan perhitungan yang terus menerus seperti dalam mengerjakan metode biseksi, metode regula falsi dan lain-lain. Walaupun maple tergolong software matematika yang gampang digunakan tetapi jika dalam menggunakan rumus dan symbol-simbol dalam menyelesaikan permasalahan salah, maka akan vatal akhibatnya.